Różne reprezentacje liczb rzeczywistych

Barbara Pieronkiewicz

Abstract


This article is devoted to the different representations of real numbers. In particular, the following types are distinguished and discussed: (1)representations based on theorems referring to the axiomatic characterization of the field of real numbers, (2) genetic representations – related to the construction of real numbers, (3) visual representations – mainly related to the geometrical way of presenting numbers. The paper addresses different representations of real numbers from a higher standpoint as well as from a classroom perspective.

Keywords


real numbers, number representations, transparent representation

References


Abian, A.: 1981, Calculus must consist of the study of real numbers in their decimal representation and not of the study of an abstract complete ordered field or nonstandard real numbers, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 12(4), 465–472.

Błaszczyk, P.: 2007, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej w Krakowie,

Kraków.

Błaszczyk, P.: 2010, Liczby rzeczywiste jako przedmiot intencjonalny, Analiza i Egzystencja 11, 235–261.

Błaszczyk, P.: 2012, O ciałach uporządkowanych, Annales Academiae Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia 4, 15–30.

Błaszczyk, P., Major, J.: 2014, Calculus without the concept of limit, Annales Academiae Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia 6,

–40.

Białynicki-Birula, A.: 1976, Algebra, Vol. 40, Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.

Borsuk, K., Szmielew, W.: 1972, Podstawy geometrii, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.

Bryll, G., Sochacki, R.: 2012, Wybrane zagadnienia dydaktyki matematyki, Wydawnictwo Nowik, Opole.

Cantor, G.: 1872, Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, Mathematische Annalen 5(1), 123–132.

Chronowski, A.: 1997, Elementy teorii mnogości, Wydawnictwo Naukowe WSP, Kraków.

Chronowski, A.: 1999, Podstawy arytmetyki szkolnej. Liczby wymierne, rzeczywiste i zespolone, cz. 2, Wydawnictwo Kleks, Bielsko-Biała.

Cohen, L. W., Ehrlich, G.: 1963, The Structure of the Real Number System, The University Series in Undergraduate Mathematics, D. Van Nostrand.

Dąbrowski, W.: 2000, Nauka myślenia, czyli 100 lekcji matematyki. T. 1, Podstawy matematyki, Kwantum, Warszawa.

Dedekind, R.: 1872, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig.

Feferman, S.: 1989, The Number Systems: Foundations of Algebra and Analysis, 2nd Edition, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island.

Goldin, G. A.: 2002, Representation in mathematical learning and problem solving, w: L. D. English (red.), Handbook of international research in mathematics education, Lawrence Erlbaum Associates, Mahwah, New Jersey, London, 197–218.

Goldin, G., Shteingold, N.: 2001, Systems of representations and the development of mathematical concepts, w: A. A. Cuoco, F. R. Curcio (red.), The roles of Representation in School Mathematics, VA: NCTM, Reston, 1–23.

Grzegorczyk, A.: 1971, Zarys Arytmetyki Teoretycznej, Vol. 39, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.

Hardy, G. H., Wright, E. M.: 1979, An introduction to the theory of numbers, Oxford University Press.

Hoborski, A.: 1921, Nowa teorja liczb niewymiernych, Nakładem Księgarni J. Czerneckiego, Warszawa-Kraków.

Janvier, C., Girardon, C., Morand, J. C.: 1993, Mathematical symbols and representations, w: P. S. Wilson (red.), Research ideas for the classroom: High school mathematics, Macmillan Publishing Company, New York, 79–102.

Kalapodi, A.: 2010, The decimal representation of real numbers, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 41(7), 889–900.

Kontorovich, I., Zazkis, R.: 2017, Mathematical conventions: Revisiting arbitrary and necessary, For the Learning of Mathematics 37(1), 15–20.

Lesh, R., Behr, M., Post, M.: 1987a, Representations and Translations among Representations in Mathematics Learning and Problem Solving, w: C. Janvier (red.), Problems of Representations in the Teaching and Learning of Mathematics, Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale, NJ, 31–40.

Lesh, R., Behr, M., Post, M.: 1987b, Rational number relations and proportions, w: C. Janvier (red.), Problems of Representations in the Teaching and Learning of Mathematics, Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale, NJ, 41–58.

Nowak, W.: 1989, Konwersatorium z dydaktyki matematyki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.

Opial, Z.: 1975, Algebra wyższa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.

Pape, S. J., Tchoshanov, M. A.: 2001, The role of representation(s) in developing mathematical understanding, Theory into practice 40(2), 118–127.

Semadeni, Z.: 1979, Matematyka współczesna w nauczaniu dzieci, Państwowe Wydawnictwo Naukowe.

Semadeni, Z.: 1982, Reprezentacje enaktywne i reprezentacje ikoniczne w sensie Brunera na przykładzie reprezentacji mnogościowych, Dydaktyka Matematyki 1, 163–184.

Semadeni, Z., (red.): 1985, Nauczanie początkowe matematyki. Podręcznik dla nauczycieli, Tom 3, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa.

Semadeni, Z., (red.): 1988, Nauczanie początkowe matematyki. Podrecznik dla nauczycieli, Tom 4, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa.

Sierpinski, W.: 1964, Elementary number theory, Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne 46, Warszawa.

Sierpinski, W.: 1965, Wstęp do teorii liczb, Biblioteczka Matematyczna 25, Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, Warszawa.

Siwek, H.: 2005, Dydaktyka matematyki. Teoria i zastosowania w matematyce szkolnej, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa.

Smith, S. M.: 1970, Two Unusual Representations for the Set of Real Numbers, Mathematics Teacher 63(8), 665.

Słupecki, J., Piróg-Rzepecka, K., Hałkowska, K.: 1979, Elementy arytmetyki teoretycznej, Vol. 38, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa.

Tarski, A.: 1994, Wprowadzenie do logiki i do metodologii nauk dedukcyjnych, Filia Uniwersytetu Warszawskiego w Białymstoku. Fundacja na Rzecz Informatyki, Logiki i Matematyki. Zakład Wydawniczy Philomath, tłum. M. Sujczynska, Białystok.

Tarski, A., Givant, S. R.: 1987, A formalization of set theory without variables, Vol. 41, American Mathematical Society.

Tripathi, P. N.: 2008, Developing mathematical understanding through multiple representations, Mathematics Teaching in the Middle School 13(8), 438–445.

Voskoglou, M.: 2012, Some comments on teaching the decimal representations of real numbers at school, aaa 37, 99–102.

Voskoglou, M., Kosyvas, G. D.: 2012, Analyzing students’ difficulties in understanding real numbers, Journal of Research in Mathematics Education 1(3), 301–336.

Zazkis, R.: 2005, Representing numbers: Prime and irrational, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 36(2–3), 207–217.

Zazkis, R.: 2016, A curious case of superscript (−1): Prospective secondary mathematics teachers explain, The Journal of Mathematical Behavior 43, 98–110.

Zazkis, R., Gadowsky, K.: 2001, Attending to transparent features of opaque representations of natural numbers, w: A. Cuoco (red.), The roles of representation in school

mathematics, VA: NCTM, Reston, 146–165.

Zazkis, R., Liljedahl, P.: 2004, Understanding primes: The role of representation, Journal for research in mathematics education 35(3), 164–186.

Zazkis, R., Sirotic, N.: 2010, Representing and defining irrational numbers: Exposing the missing link, Research in Collegiate Mathematics Education 7, 1–27.

Zazkis, R., Whitkanack, D.: 1993, Non-decimals: Fractions in bases other than ten, International Journal of Mathematics Education in Science and Technology 24(1), 77–83.


Full Text: PDF (Polski)

e-ISSN: 2450-341X, ISSN: 2080-9751

AUPC SDMP is on the List of the Ministry’s scored journals (part B) with 5 points for 2016